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EL ALGEBRA LOGICA O DE BOOLE |
El Álgebra lógica o de Boole INTRODUCCION A mediados del siglo XIX, el filósofo y matemático George Boole desarrolló una teoría matemática completamente distinta a la que entonces se conocía y cuya expansión ha sido tan importante, que en la actualidad se utiliza para la resolución y análisis de la mayoría de las operaciones industriales complejas. Tanto los procesos de fabricación como los equipos se han ido complicando a causa del progreso general y la constante evolución, hasta el punto de necesitar automatizar el control de la mayor parte de sus fases. El álgebra de Boole establece una serie de postulados y operaciones tendientes a resolver los automatismos o procesos a ejecutar, obteniendo un conjunto de ecuaciones que deberán ser traducidas y llevadas a cabo por elementos mecánicos, hidráulicos, neumáticos, eléctricos o electrónicos. La teoría de Boole considera todos los elementos como biestables, es decir, que sólo tienen dos estados válidos posibles y que por otra parte son opuestos entre sí. Así, por ejemplo, el tratamiento que el álgebra de Boole permite que una lámpara sea considerada en sus dos únicos estados posibles: encendida o apagada; un interruptor sólo podrá estar conectado o desconectado; un transistor, conduciendo o bloqueado; un relé, activado o desactivado; y así sucesivamente. No se admiten estados intermedios. El que sólo existan dos estados válidos para cada elemento en esta estructura matemática ha llevado a llamarla álgebra binaria y también álgebra lógica, pues los razonamientos que en ella se emplean son de carácter intuitivo y lógico. El álgebra de Boole es un sistema matemático usado en el diseño de circuitos lógicos, que permite representar mediante símbolos el objeto de un circuito lógico, de forma que su estado pueda ser equivalente a un circuito real. El fin de un sistema matemático es, en principio, representar un grupo de objetos o fenómenos con símbolos, que definan las leyes que gobiernan sus funciones e interrelaciones, con un conjunto de estados y ecuaciones que se escriban de forma simbólica. De este modo, los símbolos del álgebra de Boole se usan para representar entradas y salidas de los elementos lógicos y los estados y ecuaciones se usan para definir puertas, inversores y circuitos lógicos más complejos. Una vez obtenida una ecuación básica, se puede simplificar para hallar el circuito cuyas interconexiones sean las más simples y eficientes. El álgebra de Boole difiere de la clásica en que ésta última cuenta con relaciones cuantitativas, mientras que aquella cuenta con relaciones lógicas. En álgebra clásica usamos cantidades simbólicas tales como X, Y, A y B para representar números. En la resolución de problemas algebraicos interesa conocer el valor de A, o si X es mayor o menor que Y, u otra información relativa a la cantidad. En el álgebra de Boole sólo se busca conocer uno de los estados posibles que puede tener cualquier término lógico. Por ejemplo, cuando usamos el álgebra de Boole en sistemas digitales, nos interesa conocer si un término vale 1 ó 0. También se les llama "verdadero" y "falso" a los dos estados posibles en esta álgebra de tipo filosófico. La obtención de las ecuaciones lógicas que resuelven los procesos se deduce utilizando varias operaciones, para cuya comprensión se requiere el estudio de “la teoría de conjuntos". TEORIA DE CONJUNTOS. CONJUNTO Y CONJUNTO UNIVERSAL Se llama conjunto a una reunión de elementos que se caracterizan todos ellos por poseer una propiedad común. Así, dentro de los diodos semiconductores, forma un conjunto el de los diodos de capacidad variable denominados "varicap"; otro conjunto lo pueden formar los diodos de Zener. En el caso del primer ejemplo, todos sus elementos tienen una característica común: se trata de diodos semiconductores que se emplean como condensadores variables y en el segundo ejemplo se trata de diodos que disponen de una tensión de referencia llamada de Zener. Siguiendo con los ejemplos anteriores, se llama "conjunto universal", o "conjunto unidad" el que comprende la totalidad de los diodos semiconductores, Todo lo comentado se puede expresar gráficamente tal corno aparece en la figura 1, en la que se ha representado el conjunto universal de diodos semiconductores "S", como el área que comprende a todos los puntos existentes en el interior de una superficie rectangular denominada "S" ó "l" y en su interior dos círculos, el "C" y el "Z", cuyos puntos representan los diodos varicap y los de Zener, respectivamente.
Fig. 1.‑ Representación de un conjunto universal con dos subconjuntos en él. En las representaciones gráficas, cada conjunto se asimila a todos los puntos contenidos en el interior de una figura cualquiera y que normalmente suele ser circular o rectangular. Otro ejemplo de análisis de conjuntos universales y particulares es el de los empleados de una empresa, cuya totalidad conforman el conjunto universal, mientras que las diferentes profesiones, categorías o trabajos que desempeñan permitirán establecer diversos conjuntos particulares o subconjuntos. Eléctricamente, un conjunto particular cualquiera queda definido por un interruptor normalmente abierto, como se muestra en la figura 2.
Fig. 2.‑ Representación eléctrica de un conjunto cualquiera. La posición del interruptor de la figura 2 significa la pertenencia o no al conjunto C del elemento que se está considerando. Si C representa el conjunto de diodos varicap y el diodo elegido no es de dicho tipo, el interruptor adoptará la posición de abierto, con lo que la tensión V presente en la entrada no podrá aparecer en la salida. Por el contrario, si el elemento analizado es un varicap, el interruptor estará cerrado y aparecerá tensión en la salida. La representación eléctrica de un conjunto universal se muestra en la figura 3 y es un interruptor siempre cerrado, ya que al escoger cualquier elemento siempre pertenecerá al conjunto universal, puesto que por definición éste abarca a todos los elementos.
Fig‑ 3.‑ Representación eléctrica de un conjunto universal. OTROS TIPOS DE CONJUNTOS Además de los conjuntos universal y particular hay otros dos tipos: el vacío y el complementario. El conjunto vacío es el que no posee ningún elemento. Por ejemplo, al analizar los diodos semiconductores, formarán un conjunto vacío aquellos diodos que posean sólo un electrodo, puesto que no hay ninguno que cumpla este requisito. Al conjunto vacío se le representa con un “0” . Eléctricamente, al conjunto vacío se le asemeja con un contacto siempre abierto (figura 4), ya que la tensión o la información en la entrada nunca podrá aparecer en la salida, pues, por definición, al elegir cualquier elemento del conjunto universal, nunca pertenecerá al vacío.
Fig. 4.‑ Representación eléctrica de un conjunto vacío. Recibe el nombre de "conjunto complementario" de otro conjunto el que comprende a todos los elementos del conjunto universal que no pertenecen a dicho conjunto; también recibe el nombre de conjunto negado o inverso. En el caso de referimos al ejemplo de una empresa, si se considera el conjunto universal formado por todos los empleados que trabajan en ella, existirá un conjunto particular que corresponderá al de los ingenieros que trabajan en ella. Pues bien, el conjunto complementario al de los ingenieros está constituido por el resto del personal que no es ingeniero, de forma que el conjunto universal queda dividido en dos conjuntos: el de los ingenieros y el complementario o de no ingenieros, que se representa como el primero, pero con una rayita por encima que expresa la negación, tal como se muestra en la figura 5.
Fig. 5.‑ Representación dentro del conjunto universal de un conjunto particular y su complementario Eléctricamente, un conjunto complementario se simboliza por un contacto normalmente cerrado, ligado al normalmente abierto del conjunto al que complementa, según la figura 6.
Fig. 6.‑ Representación de un conjunto y su complementario mediante interruptores eléctricos. Al analizar un elemento del conjunto universal, si es ingeniero pertenece al conjunto I cerrándose el interruptor I que lo representa, lo cual conlleva la apertura del conjunto OPERACIONES CON CONJUNTOS Existen tres operaciones fundamentales en la teoría de conjuntos:
De estas operaciones se deducen otras auxiliares también muy importantes y útiles. "Operación suma o reunión de conjuntos" Un conjunto es la suma de varios cuando está formado por todos los elementos de ellos. En el ejemplo de la empresa se habló del conjunto de los ingenieros I, si ahora también se considera el conjunto de los empleados que están casados (C), la operación suma o reunión de estos dos conjuntos el C más el I, da lugar a otro conjunto, compuesto por los elementos de ambos, como se ha representado en la figura 7.
Fig. 7.‑ Representación mediante el área rayada de la suma de los conjuntos C e I. En las ecuaciones lógicas esta operación se representa con el signo de la suma: I + C = S (suma de conjuntos). La fórmula anterior se lee en la práctica: "el conjunto S es la suma del conjunto C más el conjunto F". Sin embargo, en sentido estricto en lugar de leerse más ha de leerse "o", es decir el conjunto S es igual al I o C. La letra o indica que el conjunto S está formado por los ingenieros o por los casados, luego un ingeniero pertenece al conjunto S, y un casado también y un ingeniero que esté casado igualmente (intersección de los dos círculos). Para pertenecer al conjunto suma basta que se cumpla una de las condiciones y no todas. Eléctricamente se representa la suma de conjuntos, colocando los interruptores representativos de los sumandos en paralelo, puesto que con cerrarse uno de ellos es suficiente para que se produzca el paso de la información. Ver la figura 8.
Fig. 8.‑ Representación eléctrica de la suma de conjuntos. La "tabla de la verdad" es la representación gráfica simplificada de una ecuación lógica, con todas las combinaciones posibles de sus variables binarias (sólo pueden adoptar los valores 1 y 0) y el resultado de la operación final. En el caso de la ecuación I + C = S, la tabla de la verdad correspondiente se representa en la figura 9.
Fig. 9 - Tabla de verdad de la ecuación I + C= S
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. En el caso de que el elemento considerado no perteneciese al conjunto de los ingenieros, el contacto I permanecería abierto y el 
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